Soal dan Pembahasan Program Linier

Soal dan Pembahasan Program Linier


1.      Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3m kain polos dan 5m kain batik. Jika pakaian jenis I dijual dengan laba Rp. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp. 60.000,00 per potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah

A. Rp 1.180.000,00      C. Rp 960.000,00          E. Rp 800.000,00

             B. Rp 1.080.000,00       D.Rp 840.000,00

Ditanya :

laba maksimum jika 40.000 x + 60.000 y = ....?

Jawab:

                 

	Jenis	kain polos	Kain Batik
Pakaian jenis I	X	4	2
Pakaian jenis II	Y	3	5
Total		84	70

*Model matematikanya:

4x + 3 y ≤ 84

2x + 5 y ≤ 70

X	0	21
Y	28	0
(x,y)	(0,28)	(21,0)

*4x+3y ≤ 84                               *2x+5y ≤ 70

X	0	35
Y	14	0
(x,y)	(0,14)	(35,0)

    

·         Metode Eliminasi

 4x+3y = 84  x1   4x + 3y  =  84

2x+5y = 70   x2    4x +10y = 140 -

                                       -7y  = -56

                                           Y  = -56

                                                     -7

                                           Y   = 8

·         Metode Subtitusi

2x + 5 y = 70

2x + 5.8 = 70                               

2x + 40 = 70

2x = 70 – 40

2x = 30

x = 15

titik potongnya (15, 8)

*Mencari nilai max  jika 40.000 x + 60.000 y

(0, 14) 40.000 (0)   + 60.000 (14) =  Rp.840.000

(21, 0) 40.000 (21) + 60.000 (0)   =  Rp. 840.000

(15, 8) 40.000 (15) + 60.000 (8)    = 600.000 + 480.000 = Rp 1.080.000   → Nilai Max

Jawabannya adalah B. Rp 1.080.000

2.      Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II, sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah sistem pertidaksamaan…

A. 6x + 4y ≤ 18,  2x + 8y ≤  18 , x  ≥0 dan y   ≥ 0

B. 3x + 2y ≤ 9 ,   2x + 4y ≤  9   , x  ≥0 dan y   ≥ 0

C. 2x + 3y ≤ 9 ,   4x + 2y ≤  9   , x  ≥ 0 dan y  ≥ 0

D. 3x + 4y ≤ 9 ,   2x + 2y  ≤  9   , x  ≥ 0 dan y  ≥ 0

E. 2x + 3y ≤  9 ,  2x + 4y ≤  9   , x  ≥0 dan y   ≥ 0

Jawab:

	Jenis	Mesin 1	Mesin 2
Barang A	X	6	n 4
Barang B	Y	4	8
Total		18	18

Model Matematikanya :

·         X ≥0 dan Y ≥0

·         6x+4y ≤ 18 dibagi 2 menjadi 3x+2y ≤ 9

·         4x+8y ≤ 18 dibagi 2 menjadi 2x+4y≤9

·        Jadi,model matematikanya adalah B. 3x+2y ≤ 9 , 2x+4y≤9, X ≥0 dan Y ≥0

3.      Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut – turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari.

Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

      A. Rp. 120.000,00 C. Rp. 240.000,00 E. Rp. 600.000,00

            B. Rp. 220.000,00 D. Rp. 300.000,00

Jawab :                                                                                        Ditanyakan : Keuntungan Maximum

	Jenis	Mesin A	Mesin B
Model 1	X	2	1
Model 2	Y	1	5
Total		12	15

                                 40.000x +10.000y=…?

*Model matematikanya :

X ≥ 0,Y ≥ 0, 2x+y ≤ 12, x+5y ≤15

X	0	6
Y	12	0
(x,y)	(0,12)	(6,0)

*2x+y ≤ 12                                              *x+5y ≤ 15         

X	0	15
Y	3	0
(x,y)	(0,3)	(15,0)

             

    

Metode Subtitusi                                      Eliminasi              Titik Potong : (5,2)

2x+y = 12  x1  2x+  y   = 12                        X+5y = 15               

x+5y = 15  x2  2x+10y = 30 -                     X+5(2) = 15

                                     -9y = -18                        X=15-10

                                       Y =2                        X = 5

Mencari nilai maximum jika  40.000 x + 10.000 y = ….?

(0, 3) 40.000(0) + 10.000 (3) =  Rp 30.000

(5, 2) 40.000(5) + 10.000 (2) = 200.000+ 20.000 = Rp 220.000

(6, 0) 40.000(6) + 10.000 (0) =Rp  240.000 → Nilai maximum (C)

4.       Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah ….

             A. 88    C. 102     E. 196

        B.94     D. 106

Jawab:

Rumus persamaan garis : ax + by = ab

*Persamaan garis 1 : titik (0,20) dan titik (12,0)

                                               

20 x + 12 y = 240  → 5x + 3y = 60

*Persamaan garis 2 : melalui titik (0,15) dan titik (18,0)

15x + 18 y = 270   → 5x + 6y = 90

Mencari titik potong persamaan garis 1 dan 2:

·         Metode Eliminasi                       *Titik Potong = (6,10)

5x + 3y = 60

5x + 6y = 90     -

         -3y = -30

             Y = 10

·         Metode Subtitusi:

5x + 3y = 60

5x + 3 . 10 = 60

5x = 60 – 30

5x = 30

x = 6

Mencari nilai maksimum f(x,y) = 7x + 6y

(0,15) → 7 (0) + 6 (15) = 90

(12,0) → 7 (12) + 6 (0) = 84

(6,10) → 7 (6) + 6(10) = 42+60 = 102

nilai terbesar/maksimum adalah 102

Jawabannya adalah C. 102

5.      Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

             A. Rp. 600.000,00    C. Rp. 700.000,00      E . Rp. 800.000,00

      B. Rp. 650.000,00     D. Rp. 750.000,00

Ditanyakan : Nilai maksimum : 4000 x + 3000 y = … ?

Jawab :

	Jenis	gula	tepung
Kue A	X	20	60
Kue B	Y	20	40
Total		4000 gr	9000 gr

Model matematika:

*20x + 20 y ≤ 4000 Û  x + y ≤ 200       →pemakaian gula

*60 x + 40y ≤ 9000 Û  3x + 2y ≤ 450  →pemakaian tepung

*x ≥ 0 ; y ≥ 0

·         Metode Eliminasi                            * Metode Subtitusi

 x + y    =200   x3   3x+3y  =  600                          x+y = 200

3x + 2y = 450  x1   3x +2y =  450  -                       x+150=200

                                         y  = 150                                   x= 50         

 

                                           

titik potongnya (50, 150)

Titik-titik pojoknya adalah (150, 0), (0, 200) dan titik potong (50, 150)

*4000 x + 3000 y…?

(150,0) = 4000 (150) + 3000 (0) = Rp 45.000

(0,200) = 4000 ( 0) + 3000 (200) = Rp 600.000

(50,150)= 4000 (50) + 3000 (150) = Rp 650.000

didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.650.000

Jawabannya adalah B

6.      Pak Gimin memiliki modal sebesar Rp. 60.000,00. Ia kebingungan menentukan jenis

dagangannya. Jika ia membeli 70 barang jenis I dan 50 barang jenis II uangnya sisa Rp.

2.500,00. Sedangkan jika ia membeli 70 barang jenis I dan 60 barang jenis II uangnya kurang

Rp. 2.000,00. Model matematika yang dapat disusun adalah ….

A. 7x + 5y = 5.750              D. 7x + 5y = 6.250

    7x + 6y = 6.200                   7x + 6y = 5.800

B. 7x + 5y = 6.200               E. 7x + 5y = 5.800

    7x + 6y = 5.750                    7x + 6y = 6.250

C. 7x + 5y = 6.000

    7x + 6y = 5.750

Jawab:

misal:barang jenis I = x ; barang jenis II = y

maka model matematikanya dapat dibuat sbb:

*Jika ia membeli 70 barang jenis I dan 50 barang jenis II uangnya sisa Rp. 2.500,00

70 x + 50 y = 60.000 – 2500

70 x + 50 y = 57500 ®7x + 5y = 5750

*jika ia membeli 70 barang jenis I dan 60 barang jenis II uangnya kurang Rp. 2.000,00

70x + 60y = 60.000 + 2000

70x + 60y = 62.000 ®7x + 6y = 6200

Jawabannya adalah A

7.      Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi dari daerah yang diarsir pada gambar adalah….

A. x + 2y ≥ 4, 3x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

B. x – 2y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

C. x + 2y ≤ 4, 3x – 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

D. x + 2y ≥ 4, 3x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

E. x + 2y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0

Jawab:

Persamaan umum garis : ax + by = ab

persamaan garis g : melalui titik (0,3) dan (2,0)

a b

a =3 ; b = 2

3x + 2y = 6

Karena daerah yang diarsir di bawah garis maka persamaannya menjadi

3x + 2y ≤ 6 ....(1)

persamaan garis h melalui titik (0,2) dan (4,0)

a = 2 ; b = 4

2x + 4y = 8 _ x + 2y = 4

Karena daerah yang diarsir di bawah garis maka persamaannya menjadi

x + 2y ≤ 2 ....(2)

daerah yang diarsir berada di atas sumbu x dan y

x ≥ 0, y ≥ 0 ....(3)

jawabannya adalah (1), (2) dan (3)

Jawabannya adalah E

8.      Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari 60 buah. Setiap penumpang bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 30 kg, dan untuk penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 1.500 kg. Jika tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp. 600.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp. 450.000,00, maka penerimaan maksimum dari penjualan tiket adalah ….

             A. Rp. 13.500.000,00 C. Rp. 21.500.000,00 E. Rp. 41.500.000,00

             B. Rp. 18.000.000,00 D. Rp. 31.500.000,00

Ditanyakan : Penerimaan maksimum _ 600.000 x + 450.000 y = ….?

Jawab:

Model matematikanya:

                 

	Jenis	Berat
Utama	X	30
eKONOMI	Y	20
Total	60	1500

*Model matematikanya:

*x + y ≤ 60

*30 x + 20 y ≤ 1500 →3x + 2y ≤ 150

·         Metode Eliminasi                               *  Metode Subtitusi

x + y = 60      x3   3x + 3y = 180                          x + y = 60

3x + 2y=150 x1    3x + 2y = 150 -                       x + 30 = 60

                                          y = 30                                  x= 30

Mencari nilai max dari  600.000 x + 450.000 y…?

 (0,60)  =  600.000 (0) + 450.000 (60)  = 27.000.000

(50,0)   =  600.000 (50) +450.000 (0)   = 30.000.000

(30,30) =  600.000 (30) +450.000 (30) =18.000.000+ 13.500.000= 31.500.000       Nilai maximum

Penerimaan maksimum adalah Rp. 31.500.000,00 (D)

Jawabannya adalah D

9.    Tentukan daerah penyelesaian dari

            a. 2x + y ≤ 4                b. 2x – 3y ≥ 6

Untuk menyelesaikan contoh di atas, gambarkan terlebih dahulu grafik masing-masing garisnya dengan cara mencari titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.

Jawab :

a.    2x + y = 4

Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini.

X	0	2
y	4	0
(x,y)	(0,4)	(2,0)

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 4). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 2x + y ≤ 4 dan diperoleh 2 ⋅ 0 + 0 ≤ 4. Daerah yang terdapat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir) yang ditunjukkan pada gambar 4–3a.

b.    2x – 3y = 6

Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini:

X	0	3
y	-2	0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0). Ambillah titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x – 3y ≥ 6, dan diperoleh 2⋅ 0 – 3⋅ 0 ≤ 6. Daerah yang terdapat titik P bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir) yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

10.  Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3m kain polos dan 5m kain batik. Jika pakaian jenis I dijual dengan laba Rp. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp. 60.000,00 per potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah

A. Rp 1.180.000,00      C. Rp 960.000,00          E. Rp 800.000,00

             B. Rp 1.080.000,00       D.Rp 840.000,00

Ditanya :

laba maksimum jika 40.000 x + 60.000 y = ....?

Jawab:

                 

	Jenis	kain polos	Kain Batik
Pakaian jenis I	X	4	2
Pakaian jenis II	Y	3	5
Total		84	70

*Model matematikanya:

4x + 3 y ≤ 84

2x + 5 y ≤ 70

X	0	21
Y	28	0
(x,y)	(0,28)	(21,0)

*4x+3y ≤ 84                               *2x+5y ≤ 70

X	0	35
Y	14	0
(x,y)	(0,14)	(35,0)

    

·         Metode Eliminasi

 4x+3y = 84  x1   4x + 3y  =  84

2x+5y = 70   x2    4x +10y = 140 -

                                       -7y  = -56

                                           Y  = -56

                                                     -7

                                           Y   = 8

·         Metode Subtitusi

2x + 5 y = 70

2x + 5.8 = 70                               

2x + 40 = 70

2x = 70 – 40

2x = 30

x = 15

titik potongnya (15, 8)

*Mencari nilai max  jika 40.000 x + 60.000 y

(0, 14) 40.000 (0)   + 60.000 (14) =  Rp.840.000

(21, 0) 40.000 (21) + 60.000 (0)   =  Rp. 840.000

(15, 8) 40.000 (15) + 60.000 (8)    = 600.000 + 480.000 = Rp 1.080.000   → Nilai Max

Jawabannya adalah B. Rp 1.080.000